نقشهٔ صفحه‌ها · ۱۵ صفحه

نوشته‌شده برای: دانشجویان سال دوم کارشناسی مهندسی، فیزیک یا ریاضی

1. 1

   تبدیل فوریه، از سیم مرتعش تا FFT

   • این درس یک ایده را از سیم مرتعش تا الگوریتم سریعی دنبال می‌کند که امروز همه‌جا به کار می‌رود.
   • هر سیگنال معقولی را می‌توان جمعی از نوسان‌های ساده نوشت.
   • از سری به انتگرال، سپس به تبدیل گسسته و در پایان به تبدیل فوریهٔ سریع می‌رسیم.
   • هدف: فهم معنای تبدیل و اینکه چرا الگوریتم سریع آن را کاربردی می‌کند.
2. 2

   سیم زخمه‌خورده و فرانواهایش

   • سیم زخمه‌خورده با بسامد پایه و فرانواهایی که مضرب‌های صحیح آن‌اند می‌لرزد.
   • هر فرانوا یک موج ایستاده است: شکلی سینوسی که میان دو سر ثابت سیم جا می‌گیرد.
   • ترکیب شدت فرانواها طنین ساز را می‌سازد.
   • پس یک حرکت پیچیده به مُدهای سینوسی ساده تجزیه می‌شود.
3. 3

   نظریهٔ گرمای فوریه در ۱۸۲۲ و زایش سری

   • فوریه کار خود دربارهٔ رسانش گرما را در ۱۸۲۲ در کتابش دربارهٔ نظریهٔ تحلیلی گرما منتشر کرد.
   • او ادعا کرد هر نیم‌رخ دلخواه دما را می‌توان با سینوس‌ها و کسینوس‌ها بسط داد.
   • معادلهٔ گرما خطی است، پس هر مُد سینوسی جداگانه حل و سپس جواب‌ها جمع می‌شوند.
   • پرسش‌های همگرایی که این ادعا پیش کشید، بخش بزرگی از آنالیز بعدی را پیش برد.
4. 4

   یافتن ضرایب به کمک تعامد

   • سینوس‌ها و کسینوس‌های با فرکانس‌های صحیح متفاوت روی یک دوره بر هم عمودند.
   • ضرب سیگنال در یک تابع پایه و انتگرال‌گیری، ضریب همان تابع را جدا می‌کند.
   • همهٔ جمله‌های دیگر انتگرالی برابر صفر دارند و فقط جملهٔ هم‌خوان می‌ماند.
   • این مانند یافتن مؤلفهٔ یک بردار با ضرب داخلی است.
5. 5

   ساختن موج مربعی از سینوس‌ها

   • موج مربعی تنها هارمونیک‌های فرد دارد و دامنهٔ آن‌ها به نسبت یک بر n کم می‌شود.
   • با افزودن جمله‌های بیشتر، جمع به بخش‌های تخت نزدیک‌تر می‌شود.
   • کنار هر پرش فراجهشی باقی می‌ماند: پدیدهٔ گیبس.
   • این فراجهش با جمله‌های بیشتر باریک‌تر می‌شود اما از بین نمی‌رود.
6. 6

   میل دادن دوره‌ی تناوب به بی‌نهایت

   • برای سیگنال غیرتناوبی، دورهٔ تناوب را به سوی بی‌نهایت می‌بریم.
   • فرکانس‌های هارمونیک به هم نزدیک‌تر می‌شوند و جمع به انتگرال بدل می‌شود.
   • ضرایب گسسته به تابعی پیوسته از فرکانس تبدیل می‌شوند.
   • تبدیل، سیگنال تکرارنشونده را سیگنالی با دورهٔ تناوب بی‌نهایت می‌بیند.
7. 7

   تبدیل مستقیم و وارون به‌صورت یک جفت انتگرال

   • تبدیل مستقیم، حاصل‌ضرب f(t) در e^(−iωt) را روی همهٔ زمان انتگرال می‌گیرد تا F(ω) به دست آید.
   • تبدیل وارون، حاصل‌ضرب F(ω) در e^(iωt) را انتگرال می‌گیرد تا f(t) بازیابی شود.
   • قراردادها در جای ضریب 2π متفاوت‌اند؛ پس کتاب درسی خود را بررسی کنید.
   • این دو انتگرال یک جفت‌اند و اطلاعات یکسانی را حمل می‌کنند.
8. 8

   زوج‌های رایج: مستطیل، گاوسی، نمایی، دلتا

   • پالس مستطیلی به تابع سینک تبدیل می‌شود.
   • تابع گاوسی به گاوسی دیگری تبدیل می‌شود؛ باریک در زمان یعنی پهن در فرکانس.
   • تابع نمایی میرای یک‌طرفه به تابعی از نوع لورنتسی تبدیل می‌شود.
   • تابع دلتا به یک ثابت تبدیل می‌شود که همهٔ فرکانس‌ها را به یک اندازه دارد.
9. 9

   خطی بودن، انتقال و تغییر مقیاس

   • خطی بودن: تبدیل یک جمع، جمع تبدیل‌هاست.
   • جابه‌جایی سیگنال در زمان، تبدیل را در یک ضریب فاز ضرب می‌کند و اندازه را تغییر نمی‌دهد.
   • فشرده کردن سیگنال در زمان، تبدیل آن را در فرکانس می‌کشد.
   • این قاعده‌ها به ما امکان می‌دهند از زوج‌های شناخته‌شده زوج‌های تازه بسازیم.
10. 10

    کانولوشن به ضرب بدل می‌شود

    • کانولوشن دو سیگنال در زمان برابر ضرب تبدیل‌های آن‌ها در فرکانس است.
    • این کار انتگرالی دشوار را به ضربی ساده و نقطه‌به‌نقطه بدل می‌کند.
    • فیلتر کردن یعنی کانولوشن با پاسخ ضربه، پس به ضرب در پاسخ فرکانسی تبدیل می‌شود.
    • دوگانی هم برقرار است: ضرب در زمان همان کانولوشن در فرکانس است.
11. 11

    نمونه‌برداری، هم‌نامی و تبدیل فوریهٔ گسسته

    • رایانه تنها نمونه‌ها را می‌بیند، پس سیگنال را در فاصله‌های منظم نمونه‌برداری می‌کنیم.
    • نمونه‌برداری بیش از حد کند باعث می‌شود فرکانس‌های بالا خود را پایین جا بزنند: هم‌نامی.
    • نرخ نمونه‌برداری باید از دو برابر بالاترین فرکانس موجود بیشتر باشد.
    • تبدیل فوریهٔ گسسته، N نمونه را به N مقدار فرکانسی می‌برد.
12. 12

    چرا جمع مستقیم کند است: N² در برابر (N/2)·log₂N

    • تبدیل فوریهٔ گسستهٔ مستقیم به N² ضرب مختلط نیاز دارد.
    • تبدیل فوریهٔ سریع پایهٔ ۲ تنها به (N/2)·log₂N ضرب نیاز دارد.
    • در N = ۱۰۲۴، این یعنی ۱٬۰۴۸٬۵۷۶ ضرب در برابر ۵٬۱۲۰ ضرب.
    • در N = ۴۰۹۶، یعنی ۱۶٬۷۷۷٬۲۱۶ در برابر ۲۴٬۵۷۶.
    • با بزرگ‌تر شدن N این فاصله بیشتر می‌شود.

    جدول: تعداد ضرب‌های مختلط: DFT مستقیم در برابر FFT مبنای ۲. منبع: 2.161 Signal Processing: Continuous and Discrete, Lecture 12 notes (Fall 2008) · بررسی‌شده در 2026-10-10

13. 13

    تقسیم نمونه‌ها به زوج و فرد در روش کولی و توکی (۱۹۶۵)

    • کولی و توکی الگوریتم خود را در ۱۹۶۵ منتشر کردند.
    • N نمونه به دو نیمه با اندیس‌های زوج و فرد تقسیم می‌شود.
    • هر نیمه یک تبدیل گسسته با اندازهٔ N/2 است که با ضرایب چرخش ترکیب می‌شود.
    • تکرار این تقسیم به تعداد log₂N بار، هزینهٔ N log N را می‌دهد.
14. 14

    ام‌آر‌آی، فشرده‌سازی صوت و وای‌فای: تبدیل در کار

    • دستگاه‌های ام‌آر‌آی دادهٔ فضای فرکانس را اندازه می‌گیرند و با تبدیل سریع وارون تصویر می‌سازند.
    • فشرده‌سازی صوت، صدا را به مؤلفه‌های فرکانسی می‌برد تا جزئیات ناشنیدنی کنار گذاشته شود.
    • وای‌فای از مدولاسیون OFDM بهره می‌برد که در آن تبدیل سریع زیرحامل‌های بسیاری را مدوله و آشکار می‌کند.
    • در هر سه، تبدیل فوریهٔ سریع تبدیل را برای کاربرد واقعی به‌اندازهٔ کافی سریع می‌کند.
15. 15

    ایده‌های کلیدی برای به خاطر سپردن و منابعی برای مطالعهٔ بیشتر

    • ایدهٔ کلیدی: سیگنال‌ها به سینوسی‌ها تجزیه می‌شوند و ضرایب با تعامد به دست می‌آیند.
    • تبدیل، کانولوشن را به ضرب بدل می‌کند.
    • نمونه‌برداری به تبدیل گسسته می‌رسد و الگوریتم سریع آن را با هزینهٔ N log N حساب می‌کند.
    • برای مطالعهٔ بیشتر، کتاب درسی سیگنال‌ها و سیستم‌ها و مقالهٔ ۱۹۶۵ کولی و توکی را بخوانید.